Ça fait désormais débat : les fameux algorithmes et la formule secrète des nombres premiers, enfantés par le sieur Guillaume Hawing, du nom de ce (soi-disant) enseignant guinéen. On aurait préféré que le débat soit scientifique. Consommable. Compréhensible. Cohérent. Mais l’intéressé ne cesse de le proscrire de par des paroles en l’air, des allégations sans fondements et des affirmations gratuites. Un débat mathématique ne doit rien avoir de secret, rien qu’on ne puisse appréhender par les équations et les concepts. Rien qu’on ne puisse démontrer…
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Dans ce débat serein vers lequel nous avons voulu l’entrainer, chaque question bien posée aurait mérité une réponse claire. Mais, il semble que Guillaume Hawing n’en a cure. Pourtant, cela lui est utile d’autant plus qu’il a grand besoin de sortir du monde d’illusions et de confusions dans lequel il baigne.
La cohérence étant une denrée au-dessus de son budget, il apparait que l’intéressé tire un bénéfice de la langue de bois : dès que vous signalez une bourde dans son exposé, il s’empresse de dire : « on ne le peut pas par une récurrence ».
La langue de bois ! N’est-ce pas pour cela que Guillaume Hawing s’évertue à faire du chemin en Guinée, en présentant à la communauté scientifique des squelettes en guise de résultats de recherche ? Ainsi, il fait marcher certains gens non avertis, comme le fondateur et les dirigeants de l’Université Mahatma Ghandi de Conakry qu’il a réussi à envouter.
Mais avec nous autres de l’étranger, il sera tenu d’être lucide et cohérent. S’il veut se faire entendre. Parce que nous voulons des réponses claires, à des questions précises ; et non des paroles en l’air sans preuves ni démonstrations. Nous n’acceptons pas l’écran de fumée qu’il balance à la face du monde, sous nos yeux. Dans ce débat contradictoire que nous appelions de tous nos vœux, seule la vérité doit triompher. Seules les équations doivent primer.
Pour commencer, des algorithmes en abondance
J’ai dit, j’insiste et je persiste, que des algorithmes, servant à lister les nombres premiers, sont déjà connus et utilisés. Si ce n’est que pour donner aux débutants les nombres premiers les plus petits, dans un cadre purement didactique, on peut dire que ces algorithmes sont stériles, du moins, insuffisants pour les besoins de la recherche mathématique. De nos jours, il existe des applications et des logiciels, des programmes informatiques très rapides, capables d’identifier un nombre premier en quelques secondes. Ou encore pour lister les nombres premiers à la limite de la capacité des calculateurs actuels. Ce n’est pas du nouveau. Il y a des cribles de tout genre, dont ceux de Sundaram et d’Ératosthène, utilisés depuis des lustres, pour lister les nombres premiers.
Ensuite, qui copie qui ?
Dans l’un de ses récents papiers placés en guise de réponse, Guillaume Hawing écrit ceci :
« En utilisant mon algorithme: Nous trouvons 148.933 nombres premiers (N.P) inferieurs à n = 2.000.000; 216.815 NP inferieurs à n=3.000.000; 283.146 NP inferieurs à n=4.000.000 et 348.512 N.P inferieurs à n=5.000.000 (…) Un docteur en maths sait que [ces exemples ne se trouvent nulle part depuis 2000 ans]. C’est mon algorithme qui fournit ça le plus aisément. »
C’est de l’affabulation pure et simple. De nos jours, les exemples d’estimations numériques, encore appelées fonctions de compte des nombres premiers, foisonnent sur internet. Un lien, parmi tant d’autres, peut nous édifier sur la méthode guillaumienne :
https://openclassrooms.com/forum/sujet/nombres-premiers-5
Sur celui-ci, vous verrez que c’est là que Guillaume a sorti le chiffre 148 933 nombres premiers inferieurs à 2 000 000 –c’est écrit noir sur blanc sur ce site tiers. Alors, qui copie qui ?
En poussant les recherches, on peut facilement comprendre d’où il tire ses exemples numériques, étant donné que sa formule ne tient pas la route. Il collectionne les données sur internet pour les présenter comme étant les résultats numériques de ses algorithmes et de sa fameuse formule. C’est malhonnête. Et inintelligent de sa part, puisque tous les mathématiciens avertis savent où trouver ces exemples numériques. Pour autant que je sache, la quantité de nombres premiers inférieurs à une borne fixée, à savoir 10^23 (10 puissance 23 ou bien 1 suivi de 23 zéros), est disponible actuellement sur internet et est accessible en un clic : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers
Il y a des milliers d’autres pages internet qui vous donnent la quantité des nombres premiers plus petits qu’un certain x. Mais, pour Guillaume Hawing, rien de tout cela n’était connu depuis 2000 ans. Rien de tout cela n’est visible sur le web. Il se dit le premier à l’avoir fait. Les liens précédents, entre autres, le contredisent. C’est du cynisme !!!
Guillaume Hawing a publié la formule suivante : NC1+NC2=NP, comme étant la quintessence de ses « recherches », et la conclusion d’une décennie de recherche. Quelle bravoure ! Cette formule est tout autant fausse que ridicule. J’en ai donné des exemples et on peut en donner une infinité d’exemples qui l’invalident. Je les maintiens toujours. Comme quoi, cette formule ne tient pas compte des intervalles de taille aussi grande que voulue, au sein desquels il n’y a pas de nombres premiers. Elle s’oppose à la raréfaction des nombres premiers. Ce qui est un défaut sans remède et, par conséquent, un cuisant échec*.
Pour tout dire, pas de démonstration encore !
Tout d’abord, il n’a apporté la moindre démonstration, c’est-à-dire la genèse de sa formule. Ensuite, il l’a parachutée telle qu’elle se présente, comme par tour de magie, au milieu d’un article qui ressemble plutôt à une revue de presse, où on parle de tout et de rien. Ma question comme celle de tout le public averti, à M. Guillaume : Démontrez comment vous avez eu cette formule ? Quel est le raisonnement mathématique qui a prévalu à la naissance de cette formule ?
J’espérais éclairer ma lanterne par ses nombreux droits de réponse adressés aux médias suite à la publication de mon premier papier. Mais hélas ! Voici la réponse surprenante du « scientifique » Guillaume :
« Il est très bien difficile de dire d’où vient l’inspiration d’un scientifique. Mais une chose est claire, j’aime bien le chiffre 7, et je pense que mon inspiration vient d’ailleurs de ce chiffre. C’est en utilisant ce chiffre d’ailleurs que j’ai eu le secret de la répartition des nombres premiers »
(Voir lien : http://guineematin.com/actualites/guillaume-hawing-aux-etudiants-voici-lalgorithme-genere-nombres-premiers/)
Autant dire que la formule NC1+NC2=NP reste encore un SECRET et un mystère ! Les mathématiques, ce n’est pas le Reggae. On n’y parle Pas d’inspiration. On parle plutôt de preuve, de démonstration.
Encore une fois, je vous repose la même question, M. Guillaume : où est la démonstration, où est ce raisonnement déductif qui aboutit à cette formule, si toutefois, elle est exacte ? En supposant que cette formule-ci fonctionne à merveille, comme vous le prétendez, devriez-vous être en mesure, tout d’abord -car c’est une priorité-, de démontrer comment vous l’avez fabriquée ?
A moins qu’il s’agisse d’une formule incantatoire, dont on ne peut retracer l’origine. Ou encore d’un secret d’alcôve. Si ce n’est une formule révélée, qu’on pourrait mettre à l’actif d’un diable banni en mal d’inspiration. Je suis désolé d’entendre de la bouche d’un (prétendu) mathématicien qu’il a eu le secret (sic !) de la répartition des nombres premiers, en manipulant un chiffre… Depuis quand les formules mathématiques sont secrètement dévoilées à des tiers suite à une manipulation inexplicable ?
C’est à se demander si M. Guillaume est mathé-maticien ou mathé-magicien, qui manipule –comme un cauris- l’unique chiffre 7, pour en tirer le Secret de la répartition de tous les nombres premiers. Et quel important secret !
De plus, M. Guillaume affirme avoir publié ses recherches dans deux revues spécialisées différentes. Ce qui représenterait une garantie de solidité de son œuvre. Où sont les deux publications ? Qu’il nous fournisse un lien, au moins, renvoyant à l’une de ces deux publications. Ce n’est pas trop lui demander ça, puisque les publications scientifiques sont dorénavant accessibles partout et en tout le temps !
Notez que je ne suis pas le seul à avoir mis en exergue ses bévues :
Des déclarations inquiétantes
Encore, Guillaume m’a répondu en disant ceci : « (…) Là où les savants qu’il (c-à-dire Hadi Bâ) considère comme les dieux de la science ont échoué, moi (Guillaume) j’ai réussi là-bas. Généralement, tous ceux qui se sont attaqués aux nombres premiers, l’ont fait en équipe : Hardy était avec Ramanujan, les deux indiens étaient avec leur prof avec la sécurité RSA, Gauss était avec Riemann, les deux californiens… Moi j’ai abordé seul les nombres premiers et j’ai un résultat plus éloquent et salué par plusieurs temples de savoir africain aujourd’hui. Si ces savants sont considérés par lui comme des prophètes de la science, MOI JE SUIS LEUR DIEU, car, je viens de prouver que réussir ce qui n’a pas été fait durant plus de deux millénaires. Si on donne 5 points à ces savants, on me donnera 10. »
Il ne manquait plus que ça. Il y a quelques jours, il se mesurait uniquement à Albert Einstein (pourtant piètre en maths)**.
Aujourd’hui, il s’estime deux fois plus forts que Ramanujan, Euler, Gauss, Riemann, Hardy, etc. réunis. Ces derniers étant considérés comme les esprits les plus fertiles dans le domaine. Sans leur apport, on n’aurait pas vu comment allaient se moderniser les mathématiques.
Guillaume s’est déjà paré de son costume de Savant en majuscule. Il ne cesse de le répéter d’ailleurs, comme la semaine dernière, en s’adressant à des étudiants en droit de l’université Gandhi : « d’autres savants avant moi avaient déjà découverts des algorithmes… »
Il n’imagine pas l’inquiétude et le malaise que représente ce genre de délire, étant donné qu’il est des nôtres. Dans les écrits, dans l’action, les faits et gestes, Guillaume montre sincèrement des signes d’un patient souffrant de troubles psychotiques, en particulier ceux décrivant le délire de l’inventeur méconnu.
De plus, il travaille seul, comme un ermite. Et ne présente les résultats de son batifolage que quand il est question de les publier, alors qu’il convient de se faire suivre par un expert en pareil cas. Et là également, il ne les présente qu’aux journalistes !… Il craindrait qu’on les lui subtilise, comme si tout le sens de la vie humaine reposait entièrement sur ces brillantes inventions !
Pour finir, comment la communauté mathématique voit les « Professeurs émérites » comme Guillaume Hawing ?
Le contexte de la recherche mathématique amène souvent certains Professionnels du métier à se pencher sur le statut particulier des « scientifiques », de la trempe de Guillaume Hawing. En ce sens que les maths sont un héritage commun. Elles appartiennent à tout le monde. Il revient donc aux Mathématiciens Professionnels, comme Terence Tao, considéré aujourd’hui comme le plus Grand mathématicien vivant, d’encadrer les amateurs, en leur conseillant utile. Je rappelle que Terence Tao est médaillé Fields en (2006) ; il est professeur à l’université de Californie ; voici ce qu’il dit de l’attitude de ceux qui, tout en s’amusant avec les chiffres, sont prompts à lâcher des mots comme inspiration, secret, etc. :
« Mieux vaut se méfier des notions de génie et d’inspiration. C’est une sorte de baguette magique qui doit être utilisée avec parcimonie par tous ceux qui veulent voir les choses clairement ».
Pour lui, point n’est besoin d’une sorte de « génie solitaire » qui produit spontanément ex nihilo des intuitions profondes, des solutions à des problèmes inattendus ou doués d’autres capacités surnaturelles.
Il est important de travailler dur, et travailler de façon professionnelle. Mais il est également important de profiter de son travail.
Tao rejette donc clairement « l’image populaire du génie solitaire – (et peut-être un peu fou) – qui ignore la littérature conventionnelle et qui produit, par une inspiration inexplicable, une solution d’un casse-tête sur lequel taraudent tous les experts ». « C’est une image charmante et romantique, très inexacte dans le monde des mathématiques modernes », prévient-il.
« Nous voulons certes des résultats spectaculaires, profonds et remarquables, mais qui émanent de connaissances accumulées durement et durablement, une sorte de gains cumulés pendant des années, des décennies, voire des siècles de travail stable et de progrès, de la part de nombreux grands et bons mathématiciens, comme le cas avec Wiles sur le dernier théorème de Fermat , ou Perelman sur la conjecture de Poincaré ».
Tao enfonce le clou, déclarant ceci : « En fait, je trouve la réalité de la recherche mathématique d’aujourd’hui – où le progrès est obtenu naturellement et de façon cumulative à la suite d’un travail acharné, guidé par l’intuition, la littérature, et un peu de chance – d’être beaucoup plus satisfaisant que l’image romantique qu’on a des inspirations mystiques de certaines races rares de « génies ». Ce culte du génie provoque en effet un certain nombre de problèmes, étant donné que personne ne soit en mesure de reproduire ces inspirations (très rares) avec cohérence. »
(Source : http://obamaths.blogspot.com/2013/02/faut-il-etre-un-genie-pour-faire-les.html?)
A l’évidence, l’incapacité dont parle Terence Tao, à reproduire ces inspirations inexplicables, est tout ce qui a rattrapé Guillaume Hawing. Il ne pourra jamais nous fournir une démonstration exacte de sa formule dont nul ne sait comment elle a été élaborée. Puisqu’elle est fausse, -c’est prouvé-, il ne pourra pas trouver un chemin cohérent pour la démontrer. La résultante de plusieurs vérités étant une vérité, il ne parviendra point à démontrer le faux en n’accumulant que du vrai. C’est pourquoi il tarde à nous montrer cette démonstration. C’est aussi prudent de sa part, parce qu’ainsi, il évitera d’éveiller davantage les soupçons sur son niveau de médiocrité …
Conclusion faite, Guillaume Hawing semble un illuminé qui cherche à se faire place sous le Soleil. Dans cette aventure sans lendemain, il est visiblement soutenu par des directeurs d’écoles moyens qui ne savent que peu de choses de la marche contemporaine du monde.
C’est pitoyable quand je les entends dire : « Guillaume est une chance pour la Guinée ». Je leur dit ceci : « Si en Guinée, Guillaume Hawing est une lumière et une chance, il va de soi que votre pays est tout autant ténébreux que malchanceux ».
Hadi Bâ, mathématicien
Docteur en Théorie des Nombres
Dakar, -Sénégal
Membre fondateur de l’Association des mathématiciens et chercheurs libres d’Afrique et d’ailleurs – OBAMATHS. E-mail : obamaths@gmail.com
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* Une solution-miracle complètement fausse !
Pour commencer, résumons « son » travail en quelques lignes. Primo. « Théorème : Soient N1 et N2 deux composés successifs de la forme 10n+7. Si leur différence est 10, il n’y a pas de nombre premier de la même forme entre ces composés. Si leur différence est 20, il y en un. Si leur différence est 30, il y en deux. »
Secundo. « Théorème : Le nombre de nombres premiers d’une liste d’entiers naturels impairs consécutifs de la forme 10n+1, 10n+3, 10n+7 ou 10n+9 est la somme du double du nombre de nombres impairs composés successifs de différence 30 et du nombre de nombres impairs composés successifs de différence 20.
Soit NP : nombre de nombres premiers ; NC1 : nombre de nombres impairs composés successifs de différence 30 ; NC2 : nombre de nombres impairs composés successifs de différence 20 : « NP=2NC1+NC2 » »
Premier défaut. Son premier théorème n’en est pas un, tout d’abord. Il s’agit d’un axiome. Cela ne peut être considéré comme un théorème. A la rigueur on peut appeler ça axiome. Une convention en quelque sorte. C’est comme qui dirait, il n’y a pas de nombre entier entre x et x+1 ; il y a un seul entier entre x et x+2 et, enfin, il y a deux entiers entre x et x+3. Ce n’est qu’une évidence, si tangible qu’on ne peut se permettre d’appeler ça théorème, à moins qu’on ait perdu le nord. C’est bien dommage que lui assimile ceci à un théorème, une notion censée être le fruit d’une longue recherche. Le théorème est une vérité scientifique absolue, à l’aboutissement duquel il aura fallu consentir de l’effort, combiner de nombreuses astuces et connaissances dans le domaine.
Deuxièmement. Guillaume Hawing dit avoir débusqué le puissant secret des nombres premiers, craignant que la finance mondiale et la sécurité sur internet ne s’effondrent simultanément, grâce à sa formule:
NP=2NC1+NC2
Qu’a-t-il voulu dire dans son vrai faux deuxième théorème ? Il a voulu dire, avec un vocabulaire inadapté, qu’en prenant l’une des suites arithmétiques citées, on peut connaitre le nombre de premiers, en dessous d’un certain x, à l’aide de sa « formule ». Que faire ? Il explique qu’il faille compter les couples de composés impairs dont la différence est 20 ; ainsi que ceux dont la différence est 30. Une fois ce décompte fait, sa « formule » DONNERAIT la quantité de nombres premiers.
En d’autres termes, le paramètre n étant un entier quelconque, si nous voulons connaitre le nombre des nombres premiers écrits sous la forme 10n+9, inférieurs à un entier x, Guillaume nous dit de nous servir de la liste des composés (non premiers) inférieurs x. Mais comment ? Il faut compter les couples, parmi les composés de la suite, ayant une différence de 20. Et ceux différents de 30. Une fois connue, séparément, la quantité desdits couples, Guillaume nous apprend qu’il ne nous resterait plus que d’appliquer sa formule :
NP=2NC1+NC2
Ici, NP représente le nombre recherché de nombres premiers ; NC1 : le nombre de couples de composés successifs de différence 30 ; NC2 : nombre de nombres impairs composés successifs de différence 20 ;
Il a illustré ceci par l’exemple suivant :
Considérons la suite de forme 10n+9 (choix de la forme). Nous voulons savoir le nombre de nombres premiers, identiques à 10 modulo 9, situés en dessous de 189. Autrement dit, les nombres premiers susceptibles d’être générés par la suite, compris entre 9 et 189.
Guillaume nous liste les composés de cette forme, situés entre les deux bornes bien définies : 9, 39, 49, 69, 99, 119, 129, 159, 169, 189 ?
Il y a 3 couples, dit-il, dont la différence vaut 30 : (9, 39), (69, 99), (129, 159). Et il y a aussi 3 couples dont la différence vaut 20 : (49, 69), (99, 119), (169, 189)
D’où il a tiré NP=2*3+3=9
La formule de Guillaume est fausse. Et ne tient à RIEN. Le malheur pour lui, ce qu’il tire ses enseignements d’exemples numériques élémentaires. Or, ces enseignements ne tiennent pas à l’infini, au voisinage duquel les quantités sont suffisamment grandes. Maintenant, pour invalider sa formule, je lui oppose deux listes. Je vais supposer que sa formule répond à la première liste. Et je vais prouver par récurrence qu’elle ne répond pas pour la seconde liste. Tel est le moyen le plus rapide et le plus éloquent pour débouter et démasquer l’imposture ; en proposant un ensemble d’éléments plus volumineux, on verra que sa formule est taillée sur mesure, et ne tient pas si on s’éloigne des petits chiffres auquel il est habitué.
D’abord, je fais le choix de la forme d’écriture des composés (tel que le fait Guillaume) : 10n+9.
Ensuite j’établis une borne supérieure : 99!-1. Je cherche donc à appliquer sa formule sur la suite 10n+9 pour en tirer la quantité de premiers, terminés par 9, et inférieurs à 99!-1 (lire factoriel 99, qui est un multiple de 10 dans lequel, si on retranche 1, on obtient un résultat terminé par 9 ; donc on est resté dans la suite de type 10n+9. D’après le théorème de Wilson, 99!-1 est composé).
Ainsi, apparait la liste des composés impairs, identiques à 10, modulo 9 :
9, 39, 49, 69, 99, 119, 129, 159, …, 99!-31, 99!- 21, 99!-11 et 99!-1.
Puis, dans cette liste, je suppose que la quantité de composés successifs différents de 30 est exactement NC1, et celle des composés différents de 20 est NC2 (tel que le veuille Guillaume). En même temps, je considère que sa formule y tient comme un cric pour cette liste ; autrement dit, le nombre de premiers terminés par 9 vaut exactement NP :
NP=2NC1+NC2
Maintenant, je vais proposer une deuxième liste, plus élargie, en fixant une borne plus élevée, à partir de laquelle je vais invalider ladite formule.
Tout d’abord, je garde la même forme d’écriture des composés : 10n+9. J’établie une borne plus élevée : 99!+ 99. Deuxième liste de composés identiques à 10, modulo 9 :
9, 39, 49, 69, 99, 119, 129, 159, 169, 189, …… 99!-31, 99!-21, 99!-11, 99!-1, [99!+9, 99!+19, 99!+29, 99!+39, 99!+49, 99!+59, 99!+69, 99!+79, 99!+89 et 99!+99].
J’ai placé entre crochets les « nouveaux » composés qui n’apparaissent pas dans la première liste. Ils sont au nombre de 10. Notons qu’il y a seulement dix entiers entre 99!+9 et 99!+99 terminés par 9 ; et tous ces dix entiers sont composés ; en d’autres termes, il n’y a pas de nombre premier terminé par 9 dans l’intervalle-ci).
Je fais le nouveau décompte :
Dix couples de composés différents de 30, en plus. Donc NC1 s’accroit de plus 10. Tout comme NC2. Et j’applique ladite formule :
NP=2(NC1+10)+NC2+10 ;
Soit NP=2NC1+NC2+30 ;
Voyez-vous ? NP n’est plus égal à 2NC1+NC2. Tenez ! Ce n’est pas le seul cas qui infirme sa formule. C’est pourquoi je vais généraliser mon exemple et prouver qu’il y a une infinité d’exemples empêchant sa formule de prospérer.
Exemple : cas de la suite de type 10n+9.
Soit q un nombre premier suffisamment grand. (q-2) !-1 est composé et terminé par 9 (d’après le théorème de Wilson).
Etablissions la liste des composés terminés par 9 et inférieurs ou égaux à (q-2) !-1 :
9, 39, 49, 69, …, (q-2) !-51, (q-2) !-41, (q-2) !-31, (q-2) !-21, (q-2) !-11 et (q-2) !-1. Soit x la quantité de couple de composés, issus de cette liste, dont la différence deux à deux vaut 30 (x=NC1). Soit y la quantité de composés, venant de la même liste, dont cette fois-là la différence vaut 20 (y=NC2).
Selon Guillaume Hawing, le nombre des nombres premiers, terminés par 9, et inférieurs à (q-2) !-1, noté NP, est exactement égal à :
NP=2x+y=2NC2+NC1
Nous considérons cette égalité vraie, avant de la démentir par l’absurde. Voyons ce qu’il en ait d’une liste plus élargie : passons à la borne (q-2) !-1+10v, où v est la partie entière de la fraction ((q-2)/10). La nouvelle liste de composés s’impose comme :
9, 39, …, (q-2)!-51, (q-2)!-41, (q-2)!-31, (q-2)!-21, (q-2)!-11, (q-2)!-1, (q-2)!+9, (q-2)!+19, (q-2)!+29, (q-2)!+39, …, (q-2)!-1+10(v-2), (q-2)!-1+10(v-1) et (q-2) !-1+10v.
A ce niveau, les calculs sont éloquents : la quantité de composés successifs différents de 30 est égale à x+v, tandis que celle des composés successifs différents de 20 équivaut à y+v. En effet, en appliquant la forme de Guillaume, nous avons :
NP=2(x+v)+y+v=2x+y+3v=2NC1+NC2+3v
Nous constatons que NC2 et NC1 ont varié. Seul NP n’a pas varié. Pourquoi ? C’est simple : dans l’intervalle allant de (q-2)!-1 à (q-2) !-1+10v, il n’y a aucun nombre premier terminé par 9. Tous les entiers, qui s’écrivent avec un 9 à la fin, situés dans cet espace, sont composés. NP ne doit bouger d’un iota (si nous devons bien sûr rester dans le cadre de l’arithmétique). En définitive, v étant arbitraire, on remarque que la fonction NP vaut, à la fois, 2NC1+NC2, et 2NC1+NC2+3v. Ce qui explique que même si sa formule tient sur certaines petites, il y a une infinité de listes sur lesquelles elle ne colle. Et là, pas du tout.
On peut en faire autant pour les autres suites, en l’occurrence 10n+1, 10n+3 et 10n+7. Le défaut sans remède de la formule de Guillaume, est qu’elle ne prend pas en compte les trous ! Guillaume ne sait pas qu’il y a des intervalles, des trous, aussi grands que voulus au sein desquels il n’y a pas de nombres premiers (comme ici avec les paramètres q et v, lorsqu’ils tendent vers l’infini).
La formule de Guillaume dément donc la raréfaction des nombres premiers. Elle s’oppose à toutes les connaissances antérieures, déjà prouvées et sur lesquels toute la communauté mathématique s’accorde.
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