L’hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux font parties des problèmes mathématiques non résolus les plus populaires. Si leurs énoncés sont remarquablement simples, leur résolution semble actuellement hors d’atteinte.
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L’allemand Bernard Riemann, dans son hypothèse formulée en 1859, s’interrogeait sur le nombre de nombres premiers inferieurs à une taille donnée et Alphonse de polignac dans sa conjecture formulée en 1849, s’interrogeait sur la problématique suivante : tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d’une infinité de manières, dont le cas n = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Quand je mettais en ligne mon article intitulé ‘’Schéma qui organise la répartition des nombres premiers’’, je disais ceci à un contradicteur : ce schéma repoussera la limite de plusieurs hypothèses et conjectures liées aux nombres premiers. Il révolutionnera et réorientera les approches mathématiques sur la connaissance des nombres premiers.
En réalité, nous resterions encore un milliard d’années sans percer le secret de l’organisation des nombres premiers si nous ne réalisions pas que ces nombres ont pour gardiens les nombres impairs composés. Oui les nombres impairs composés sont bel et bien gendarmes gardiens des nombres premiers ! Pour atteindre les nombres premiers, il faut nécessairement éliminer l’obstacle Nombres Impairs Composés.
En tentant de répondre à l’interrogation de Riemann et à celle de Polignac, je pars toujours du schéma de mon algorithme qui organise la répartition des nombres impairs composés et des nombres premiers.
Rappels :
A) Tous les nombres impairs composés ou non composés sont de la forme : 2n+1
B) Tous les nombres impairs composés ont l’une des formes : 10n+1 ou 10n+3 ou 10n+5 ou 10n+7 ou 10n+9 où n est un entier naturel.
C) Exceptés 2 et 5, tous les nombres premiers sont de la forme : 10n+1 ; 10n+3 ; 10n+7 ou 10n+9.
D) Les nombres impairs composés de la forme 10n+1 se factorisent tous de la forme : 10n+1= (10k1+3) (10k2+7) ou 10n+1= (10k3+9) (10k4+9) et ou 10n+1= (10k5+1) (10k6+1) où k1, k2; k3 ; k4 ; k5 ; et k6 sont des entiers naturels.
E) Les nombres impairs composés de la forme 10n+3 se factorisent tous de la forme : 10n+3= (10k1+3) (10k2+1) ou 10n+3= (10k3+7) (10k4+9) où k1, k2; k3 ; et k4 sont des entiers naturels.
F) Les nombres impairs composés de la forme 10n+7 se factorisent tous de la forme : 10n+7= (10k1+7) (10k2+1) ou 10n+7= (10k3+3) (10k4+9) où k1, k2; k3 ; et k4 sont des entiers naturels.
G) Les nombres impairs composés de la forme 10n+9 se factorisent tous de la forme : 10n+9= (10k1+1) (10k2+9) ou 10n+9= (10k3+3) (10k4+3) et ou 10n+9= (10k5+7) (10k6+7) où k1, k2; k3 ; k4 ; k5 ; et k6 sont des entiers naturels.
E) Les nombres impairs composés de la forme 10n+5 se factorisent tous de la forme : 10n+5= 5(2k+1).
De ces 11 formes de factorisation des nombres impairs composés 10n+1 ; 10n+3 ; 10n+5 ; 10n+7 et 10n+9, on déduit les 11 tableaux ou 11 schémas suivants :
(T1) 10n+9= (10k3+3) (10k4+3)
| 3 | 3 |
| 13 | 13 |
| 23 | 23 |
| 33 | 33 |
| 43 | 43 |
| Infini | infini |
(T2) 10n+1= (10k1+3) (10k2+7)
| 3 | 7 |
| 13 | 17 |
| 23 | 27 |
| 33 | 37 |
| 43 | 47 |
| Infini | infini |
(T3) 10n+7= (10k3+3) (10k4+9)
| 3 | 9 |
| 13 | 19 |
| 23 | 29 |
| 33 | 39 |
| 43 | 49 |
| Infini | infini |
(T4) 10n+3= (10k1+3) (10k2+1)
| 3 | 11 |
| 13 | 21 |
| 23 | 31 |
| 33 | 41 |
| 43 | 51 |
| Infini | infini |
(T5) 10n+9= (10k5+7) (10k6+7)
| 7 | 7 |
| 17 | 17 |
| 27 | 27 |
| 37 | 37 |
| 47 | 47 |
| infini | infini |
(T6) 10n+3= (10k3+7) (10k4+9)
| 7 | 9 |
| 17 | 19 |
| 27 | 29 |
| 37 | 39 |
| 47 | 49 |
| infini | infini |
(T7) 10n+7= (10k1+7) (10k2+1)
| 7 | 11 |
| 17 | 21 |
| 27 | 31 |
| 37 | 41 |
| 47 | 51 |
| infini | infini |
(T8) 10n+1= (10k3+9) (10k4+9)
| 9 | 9 |
| 19 | 19 |
| 29 | 29 |
| 39 | 39 |
| 49 | 49 |
| infini | infini |
(T9) 10n+9= (10k1+9) (10k2+1)
| 9 | 11 |
| 19 | 21 |
| 29 | 31 |
| 39 | 41 |
| infini | infini |
(T10) 10n+1= (10k5+1) (10k6+1)
| 11 | 11 |
| 21 | 21 |
| 31 | 31 |
| 41 | 41 |
| 51 | 51 |
| infini | infini |
(T11) 10n+5= 5 (2k+1)
| 5 | 3 |
| 5 | 5 |
| 5 | 7 |
| 5 | 9 |
| 5 | 11 |
| 5 | Infini (2n+1) |
Ces 11 tableaux provenant des 11 formes de factorisation que peut avoir n’importe quel nombre impair composé, constituent les schémas qui organisent la répartition des nombres impairs composés.
Peut-on dissocier la répartition des nombres impairs composés à celle des nombres impairs non composés ? La répartition de l’une implique forcement celle de l’autre. Donc la répartition par ordre via ces 11 tableaux des nombres impairs composés, implique celle des nombres impairs non composés ou nombres premiers.
A) Comment ces 11 tableaux répondent à l’hypothèse de Riemann liée au nombre de nombres premiers inferieurs à une taille donnée?
La question principale fondamentale de l’hypothèse de Riemann liée à la répartition des nombres premiers est : Quel est le nombre de nombres premiers inferieurs à une taille donnée, c’est-à-dire à un entier naturel donné ?
Ces 11 schémas qui organisent la répartition des nombres impairs composés, répondent éloquemment à l’interrogation de Riemann, à l’hypothèse de Riemann.
Application : Comment se servir des 11 tableaux pour déterminer le nombre de nombres premiers inferieurs à une taille donnée ?
Soit n un entier naturel. Pour déterminer le nombre de nombres premiers inferieurs à n, on procède comme suit :
- On considère séparément chacun des 11 tableaux.
- Pour chaque tableau, on fait le produit de chaque élément de la première colonne par tous les éléments de la deuxième colonne, jusqu’à la limite n.
- On ordonne par ordre croissant les résultats des différents produits compris entre 9 et n issus des 11 tableaux.
- Les nombres premiers seront les nombres impairs absents de la liste des nombres impairs composés ordonnés compris entre 9 et n, aux quels on ajoute 2 ; 3 ; 5 ; t 7.
Exemples : Quels sont les nombres premiers inferieurs à 100 et inferieurs à 300 ?
En utilisant les 11 tableaux, on trouve 25 nombres premiers inferieurs à 100, qui sont : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
En utilisant les mêmes tableaux, il y aura 62 nombres premiers inferieurs à 300 qui sont : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293.
N.B : Toujours en utilisant les 11 tableaux, on aura : 168 nombres premiers inferieurs à 1000 ; 1229 nombres premiers inferieurs à 10.000 et 9592 nombres premiers inferieurs à 100.000.
Observation : Nous constatons que ces 11 tableaux qui organisent les nombres impairs composés, organisent aussi les nombres impairs non composés ou nombres premiers et donnent avec une précision mathématique le nombre de nombres premiers inferieurs à une taille donnée.
N.B : Trouvez sur le lien, le moteur qui génère par ordre le nombre de nombres premiers inferieurs à un entier naturel n donné : http://univgandhi-guinee.com/algo/public/home/calcul
B) Comment ces 11 tableaux répondent à la conjecture des nombres premiers jumeaux?
D’abord la conjecture des nombres premiers jumeaux se présente comme suit : Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme p et p+2 ?
D’abord il faut préciser deux choses :
- Ces 11 tableaux gênèrent tous les nombres impairs composés.
- Les nombres impairs composés générés par ces 11 tableaux, ordonnés, ils seront successifs. Les nombres impairs composés ordonnés de ces 11 tableaux sont donc une suite de nombres impairs composés consécutifs.
Axiome1 : Soient C1 et C2 deux nombres impairs composés tel que C2 plus grand que C1. Si C1 et C2 sont successifs, alors C2 – C1 = 2 ou C2 – C1= 4 ou C2 – C1= 6.
Axiome2 : Si C2 – C1= 4, il existe un nombre premier P entre C1 et C2, tel que : P= (C1+C2)/2. Si C2 – C1= 6, il existe deux nombres premiers P1 et P2 entre C1 et C2, appelés nombres premiers jumeaux, tels que : P1= (C1+C2)/2 – 1 et P2= (C1+C2)/2 +1.
Exemple1 : 21 et 25 sont impairs composés successifs de différence 4, donc P= (21+25)/2 = 46/2 = 23 ; 35 et 39 sont impairs composés successifs de différence 4, donc P= (35+39)/2= 74/2= 37
Exemple2 : 15 et 21 sont impairs composés successifs de différence 6, donc P1= (15+21)/2–1 = 17 ; P2 = (15+21)/ 2+1= 19 ; 279 et 285 sont impairs composés successifs de différence 6, donc P1= (279+285)/2–1= 281 et P2= (279+285)/2+1= 283. Donc 281 et 283 sont premiers jumeaux.
Depuis deux cents ans avant le Christ, Euclide a établi la preuve d’une existence d’infinité de nombres premiers.
En effet, il faut préciser qu’exceptés les nombres premiers 2 ; 3 ; 5 et 7, tous les restes des nombres premiers sont entre deux nombres impairs composés successifs de différence 4 ou entre deux nombres impairs composés successifs de différence 6. Dire alors qu’il existe une infinité de nombres premiers, revient à dire qu’il existe une infinité de nombres impairs composés successifs de différence 4 ou une infinité de nombres impairs composés successifs de différence 6 ou des deux en même temps.
Comme entre deux nombres impairs composés successifs C1 et C2 de différence 6, les nombres premiers P1 et P2 donnés par les formules P1= (C1+C2)/2 – 1 et P2= (C1+C2)/2 +1 sont appelés nombres premiers jumeaux, nous pourrons donc en déduire que le nombre premier entre deux nombres impairs composés successifs de différence 4, déterminé par la formule P= (C1+C2)/2, est appelé nombre premier solitaire.
Axiome : Exceptés 2 ; 3 ; 5 et 7, il existe deux types de nombres premiers ; Nombre premier solitaire : nombre premier se trouvant entre deux nombres impairs composés successifs de différence 4, et nombres premiers jumeaux : nombres premiers se trouvant entre deux nombres impairs composés successifs de différence 6.
Concernant la conjecture des nombres premiers jumeaux : A la question de savoir, existe-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux ? Revient tout naturellement à cette autre question : Existe-t-il une infinité de nombres impairs composés successifs de différence 6 ? Cette autre question que je peux me poser, est la suivante : Existe-t-il une infinité de nombres impairs composés de différence 4 ?
Remarque fondamentale : Comme Euclide a démontré qu’il existe une infinité de nombres premiers et comme je viens de prouver qu’excepté 2, 3, 5 et 7 il n’existe que deux types de nombres premiers (Solitaires et Jumeaux), qui sont respectivement entre deux nombres impairs composés successifs de différence 4 ou 6, ceci dit : l’infinité des nombres premiers, implique nécessairement l’infinité des nombres impairs composés de différence 4 ou l’infinité des nombres impairs composés de différence 6 ou l’infinité des deux en même temps. Ceci dit également que l’infinité des nombres premiers, implique l’infinité des nombres premiers solitaires ou l’infinité des nombres premiers jumeaux ou l’infinité des deux en même temps.
Conclusion : Avec la conjecture des nombres premiers jumeaux, les 3 autres interrogations qu’on peut se poser sont les suivantes :
- Existe-t-il une infinité de nombres impairs composés successifs de différence 4 ?
- Existe-t-il une infinité de nombres impairs composés successifs de différence 6 ?
- Existe-t-il plus de nombres impairs composés successifs de différence 6 que de nombres impairs composés successifs de différence 4 ?
Tout comme le secret de la répartition des nombres premiers réside dans la répartition des nombres impairs composés, celui de la conjecture des nombres premiers jumeaux réside aussi dans les nombres impairs composés successifs de différence 6.
Pr. Guillaume Hawing, 100% fruit de l’école africaine (Guinée, Conakry).